• карта сайта
  • форум
  • каталог ссылок
  • поиск по сайту
3.10.Регулярный режим охлаждения (нагревания) тел
 
Анализ полученных решений для тел различной геометрической формы показывает, что они имеют одинаковую структуру, т е. представляют собой сумму бесконечного ряда, члены которого расположены по быстро убывающим экспоненциальным функциям. Например, для безграничной пластины при охлаждении ее в среде с постоянной температурой tж и постоянным коэффициентом теплоотдачи на ее поверхностях получено:

В этом уравнении An — постоянный коэффициент, свой для каждого члена ряда (не зависящий ни от координат, ни от времени), ои найден из начальных условий. Множитель cos(μnx/δ) является функцией только координаты х, и его можно обозначить Un. Экспонента будет убывать пропорционально времени . Комплекс (μn)2a/δ2 представляет собой постоянное вещественное положительное число, которое можно обозначить mn, причем m будет изменяться в зависимости от номера индекса так же, как и μ, т. е.
3.85 3.86
С учетом сказанного выражение для пластины можно представить как (3.86). Для тел других геометрических форм температурное поле также будет описываться уравнением вида (3.86). Специфика геометрической формы учитывается различным видом множителей Аn и Un. Для тел одной и той же формы различным начальным распределениям температуры будут соответствовать разные совокупности чисел An. При малых значениях от =0 до =1 распределение температуры внутри тела и скорость изменения во времени температуры в отдельных точках тела зависят от особенностей начального распределения температур. В этих условиях поле температур в теле будет определяться не только первым, но и последующими членами ряда (3.86). Это первый период охлаждения, при котором скорость изменения температуры внутри тела зависит от вида начального распределения температуры, называют неупорядоченной стадией процесса охлаждения (нагревания). Благодаря неравенству (3.85) с увеличением времени последующие члены ряда (3.86) будут быстро убывать, т. е. ряд становится быстросходящимся. Начиная с некоторого момента времени >1 начальные условия начинают играть второстепенную роль и процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физическими свойствами тела и его геометрической формой и размерами. Температурное поле описывается первым членом ряда (3.86):
3.87 3.88
Соотношение (3.87) показывает, что изменение избыточной температуры как в пространстве, так и во времени не зависит от начального распределения температуры. Логарифмируя и опуская индексы, получаем (3.88). Из уравнения (3.88) следует, что натуральный логарифм избыточной температуры для всех точек тела изменяется во времени по линейному закону. Графическая зависимость между lnθ и временем будет иметь вид прямой (рис. 3.20). При длительном охлаждении ( стремиться к бесконечности, или, что то же, Fo стремиться к бесконечности) все точки тела в конце концов принимают одинаковую температуру, равную tж (наступило стационарное состояние) .

Рис. 3.20. Зависимость lnθ от времени при охлаждении (нагревании) тел

Таким образом, весь процесс охлаждения можно разделить иа три стадии:
Первая стадия (неупорядоченного) режима характеризуется большим влиянием начального распределения температуры, и зависимость между θ и описывается уравнением (3.86).
Вторая стадия охлаждения называется регулярным режимом, и зависимость между θ и описывается уравнением (3.87).
Третья стадия охлаждения соответствует стационарному режиму, когда температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды (имеет место тепловое равновесие).
Остановимся на более подробном рассмотрении второй стадии охлаждения. После дифференцирования обеих частей уравнения (3.88) по времени получим:
3.89
В левой части уравнения (3.89) стоит выражение для относительной скорости изменения температуры, и оно равняется постоянной величине m, не зависящей ни от координат, ни от времени. Величина m измеряется в 1/с и называется темпом охлаждения. При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зависит ни от координат, ни от времени и является величиной постоянной для всех точек тела. Темп охлаждения, как это следует из уравнения (3.89), характеризует относительную скорость изменения температуры в теле и зависит только от физических свойств тела, процесса охлаждения на его поверхности, геометрической формы и размеров тела. Итак, регулярный режим охлаждения (нагревания) тел характеризуется тем, что изменение температурного поля во времени описывается простой экспонентой и относительная скорость охлаждения m для всех точек тела остается величиной постоянной, не зависящей ни от координат, ни от времени. Если экспериментально определить изменение избыточной температуры θ во времени   и построить зависимость в полулогарифмических координатах, то из рис. 3.20 следует, что темп охлаждения в стадии регулярного режима найдется как

Выражение для зависимости темпа охлаждения m от физических свойств тела, его геометрической формы и размеров, а также условий теплообмена на поверхности тела можно найти из анализа теплового баланса. Изменение внутренней энергии тела равно потоку теплоты
3.90
где с — удельная теплоемкость, Дж/(кг×К); V — объем тела, м3; ρ— плотность вещества, кг/м3; — средняя по объему избыточная температура, °С; — время, с. С другой стороны, за тот же промежуток времени вся теплота должна быть отведена с поверхности тела в окружающую среду за счет теплоотдачи 3.91
где - среднее значение коэффициента теплоотдачи и средняя температура поверхности тела в данный момент времени соответственно.

Приравнивая выражения (3.90) и (3.91), находим последнее выражение, или если разделить полученное выражение на  и учесть, что cρV=C, Дж/К, полная теплоёмкость тела
3.92 3.93
В левой части выражения (3.92) стоит относительная скорость охлаждения m, 1/с, и если отношение средних избыточных температур, обозначить через Ψ, (3.92) можно записать в виде (3.93). Из уравнения (3.93) следует, что относительная скорость охлаждения, или, иначе говоря, темп охлаждения m однородного и изотропного тела при конечном значении коэффициента теплоотдачи пропорциональна коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела и обратно пропорциональна его теплоемкости (первая теорема Кондратьева).
В уравнении (3.93) множитель Ψ называется коэффициентом неравномерности распределения температуры в теле и зависит от условий охлаждения на поверхности тела. Для выяснения характера зависимости коэффициента Ψ от числа Bi, учитывающего условия протекания процесса на поверхности, рассмотрим два предельных случая:
a) Bi стремиться к нулю (практически Bi<0,1)
Как было сказано, эти условия соответствуют внешней задаче, когда распределение температуры в теле зависит от его размеров и физических свойств и, следовательно, усредненные по поверхности и объему температуры будут одинаковы (см. рис. 3.8). Коэффициент неравномерности распределения температуры в теле:

б) Bi стремиться к бесконечности (практически Bi>100)
При этих условиях задача становится внутренней и процесс охлаждения определяется только размерами тела и его физическими свойствами. В силу большой интенсивности теплообмена температура на поверхности тела принимает постоянное значение, равное температуре окружающей среды (рис. 3.7).
Коэффициент неравномерности распределения температуры 

Из сказанного следует, что Ψ будет изменяться от нуля до единицы (рис. 3.21)

Рис. 3.21. Зависимость Ψ=f(Bi)

При Bi, стремящемся к бесконечности, или, что то же, , стремящемся к бесконечности, темп охлаждения m становится прямо пропорциональным коэффициенту температуропроводности тела а, м2/с (вторая теорема Кондратьева)
3.94
Коэффициент пропорциональности К зависит только от геометрической формы и размеров тела. Докажем это на примере охлаждения однородной безграничной пластины. Напомним, что
3.95
Рассмотрим характеристическое уравнение для безграничной пластины
При Bi, стремящемся к бесконечности, имеем ctg μ стремиться к нулю, а μ стремится к своему предельному значению /2; при Bi, стремящемся к нулю, ctg μ стремиться к нулю и μ устремляется к нулю.
Следовательно, величина μ для пластины во всем диапазоне значений чисел Bi изменяется от нуля до своего предельного значения, равного /2 (рис. 3.22). Для тел другой геометрической формы имеют место свои пределы изменения величины μ.

Рис.3.22. Зависимость μ=f1(Bi)

Так как при Bi, стремящемся к бесконечности (практически Bi>100), при охлаждении бесконечной однородной пластины можно принять μ=/2, то из уравнения (3.95) получаем:
3.96
Напомним, что для пластины характерным линейным размером является половина ее толщины, т. е. l0=δ. Тогда из уравнения (3.96) получаем выражение (*), где K - коэффициент пропорциональности пластины, который определяется только формой и геометрическими размерами. Коэффициенты пропорциональности для тел других геометрических форм: для шара - (a); для параллелепипеда - (b); для цилиндра конечной длины - (c).

На основе теории регулярного режима разработаны различные экспериментальные методики определения теплофизических характеристик разных материалов. При определении физических параметров тела поступают следующим образом. Для определения коэффициента температуропроводности используют а-калориметр, имеющий форму цилиндра или шара. Создают условия, близкие к , стремящемся к бесконечности, измеряют изменение избыточной температуры во времени и строят зависимость в полулогарифмических координатах (рис. 3.23).

Рис. 3.23. К определению темпа охлаждения m

Тогда

Из последнего уравнения находят коэффициент температуропроводности. Для определения коэффициента теплопроводности выбирают λ-калориметр. Обычно калориметр строят в виде шара. Сущность метода заключается в том, что создают условия охлаждения, когда коэффициент теплоотдачи остается конечной величиной, и при этих условиях определяется темп охлаждения описанным выше способом. Далее из характеристического уравнения, которое для шара имеет вид (3.97) находят коэффициент теплопроводности.
3.97
Напомним, что для шара характерным линейным размером является его радиус r0; величина μ=(**). Тогда уравнение (3.97) принимает вид:
3.98
здесь λ измеряется в Вт/(м×К). В уравнении (3.98) неизвестная величина определяется на эталонном калориметре, изготовленном из материала с известным коэффициентом теплопроводности. Мы рассмотрели метод регулярного теплового режима для условий, когда температура среды постоянная (tж=const) и который Г. М. Кондратьев назвал регулярным режимом первого рода.
В последние годы получили развитие и широкое распространение методы регулярного режима для случаев, когда температура среды — линейная функция времени (tж=tж0+b) и температура среды — периодическая функция времени tж=tж0+tmcos (где — частота колебаний, tm—амплитуда колебания температуры среды). Эти два случая получили название методов регулярного режима второго и третьего родов. А. В. Лыков в монографии показал, что регуляризация кинетики нагревания тела происходит не только по температурным полям, но и по потокам теплоты. Поэтому при нагревании нет надобности различать регулярные режимы первого, второго и третьего родов. В качестве общего свойства теплового регулярного режима можно принять соотношение
3.99
где — средняя по объему тела температура; tж— температура среды; m — коэффициент пропорциональности, называемый темпом нагревания (охлаждения). Из соотношения (3.99) следует, что скорость нагревания тела в стадии регулярного теплового режима dt/d пропорциональна разности температур среды и средней температуре по объему тела, причем коэффициент пропорциональности m определяется не только характерными размерами тела, физическими свойствами и условиями теплообмена на поверхности, но и характером изменения температуры среды. С подобным изложением приведенного обобщенного метода можно познакомиться в указанной монографии А. В. Лыкова. Теория регулярного режима может быть применена при решении таких практических задач, как определение времени прогрева (охлаждения) тел, определение теплофизических параметров вещества, коэффициента теплоотдачи , коэффициента излучения σ и термических сопротивлений. Достоинство метода заключается в простоте техники эксперимента, достаточной точности получаемых результатов и малой продолжительности эксперимента.
vasiliya on Oct, 27 2009
Print