Метод разделения переменных применяется при отыскании классических или обобщенных решений в виде ряда Фурье смешанных задач для уравнений параболического и гиперболического типов, краевых задач для эллиптических уравнений, а также ряда других задач для уравнений в частных производных. Рассмотрим этот метод применительно к следующей задаче: Найти функцию  , удовлетворяющую уравнению (1), краевым условиям (2) и начальным условиям (3) (где (a') - параболический случай, (b') - гиперболический случай):
Оператор Lt имеет вид (a) - в параболическом случае и вид (b) - в гиперболическом случае. Постоянные a1, a2, b1, b2 таковы, что a12+b12>0, a22+b22>0. Причем, если a1=a2=0, то краевые условия (2) называют краевыми условиями первого рода; если b1=b2=0, то (2) - краевые условия второго рода; если же все постоянные отличны от нуля, то (2) - краевые условия третьего рода. Сначала будем искать решение уравнения (1) при ƒ(x,t)=0, удовлетворяющее лишь краевым условиям (2), в виде:
Подставляя функцию u(x,t) в виде (*) в уравнение (1), получаем
Поскольку левая часть равенства (4) есть функция лишь переменной x, а правая - переменной t, то обе эти части должны быть равны некоторой постоянной, которую обозначим через –λ. Тогда из равенства (4) получаем два уравнения:
Подставляя далее функцию u(x,t) в виде (*) в краевые условия (2), получаем
Т.е. для функции X(x) получается задача (**), которая называется задачей Штурма-Лиувилля (Ш-Л) и состоит в нахождении значений параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения X(x) задачи (**). Такое значение параметра λ называют собственным числом или собственным значением, а соответствующую ему функцию X(x) - собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля.
Собственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля обладают следующими свойствами:
- Собственные числа образуют счётное множество, не имеющее конечных предельных точек.
- Все собственные числа вещественны и неотрицательны.
- Все собственные числа имеют геометрическую кратность, равную I, т.е. каждому собственному числу соответствует только одна собственная функция.
- Собственные функции Xk(x) и Xn(x), соответствующие различным собственным числам λk и λn, λk≠λn ортогональны в пространстве
 с весом  в следующем смысле: 
- Собственные функции образуют полную систему в пространстве , а следовательно любая функция класса
 , для которой уравнение (5) имеет смысл в пространстве L2, может быть разложена в раномерно сходящийся на  ряд Фурье по этим собственным функциям.
|
Итак, получена система собственных чисел  и собственных функций  задачи Штурма-Лиувилля. В силу свойства 5 решение задачи (1) - (3) может быть представлено в виде ряда Фурье по собственным функциям Xk(x), т.е.
а функции  могут быть разложены в ряд Фурье по функциям Xk(x), т.е.
где Tk(t), ƒk(t), φk, ψk - коэффициенты Фурье функций u(x,t), F(x,t), φ(x), ψ(x), соответственно, вычисляемые по формулам:
Коэффициенты же Tk(t) являются решениями следующих задач Коши:
(6) - в параболическом случае, (7) - в гиперболическом случае.
Задачи (6) и (7) вытекают из равенств:
в силу полноты системы функций  Эти равенства получаются после подстановки в условия (1), (3) функций u(x,t), F(x,t), φ(x), ψ(x) в виде рядов с учётом того, что Xk(x) есть решение уравнения (5) при любом  Решениями задач (6) и (7) являются соответственно функции
Итак, решение смешанной задачи (1) - (3) имеет вид
где Xk(x) - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля, а Tk(t) выражаются формулой (8), когда уравнение (1) есть уравнение параболического типа, и формулой (9) - для уравнения гиперболического типа. Этот метод аналогично применяется и к уравнениям эллиптического типа.
Замечание. Полученное методом Фурье решение является формальным. Накладывая ограничения типа гладкости и согласованности на функции φ, ψ, ρ, ƒ, р, q, можно добиться, что ряд (10) будет сходящимся к некоторой функции u(x,t), которая будет либо обобщенным, либо классическим решением задачи (1) - (3). Возможно привести несколько разных достаточных условий.
|
