Во многих задачах приходится по заданной функции находить новую функцию, производная которой в каждой точке равна значению данной функции в этой точке (например, скорость). Первообразной для функции ƒ(x) называется функция F(x), удовлетворяющая условию  . Очевидно, что и в общем случае, если F(x) есть первообразная для функции ƒ(x), то при любой постоянной С функция F(x)+C также является первообразной для функции ƒ(x). Действительно,  для любого x из рассматриваемого интервала. Таким образом, если функция имеет хотя бы однк первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных. Справедлива следующая теорема:
Если функция F(x) есть первообразная для функции ƒ(x), то любая первообразная для функции ƒ(x) имеет вид F(x)+C, где С - некоторая постоянная, т.е. множество  является множеством всех первообразных для функции ƒ(x).
Из этой теоремы следует, что при любом С функция F(x)=x3+C является первообразной для функции ƒ(x)=3x2 и других первообразных эта функция не имеет. Для нахождения первообразных справедливы следующие три правила:
- Если функция F(x) является первообразной для функции ƒ(x), а функция G(x) является первообразной для функции g(x), то функция F(x)+G(x) является первообразной для функции ƒ(x)+g(x). Действительно, производная от суммы функций равна сумме производных, т.е.
 , а это и означает, что функция F(x)+G(x) является первообразной для функции ƒ(x)+g(x).
- Если функция F(x) является первообразной для функции ƒ(x), то функция kF(x) является превообразной для функции kƒ(x). Действительно,
 , т.е. функция kF(x) является первообразной для kƒ(x).
- Если функция F(x) является первообразной для функции ƒ(x), то функция F(y(t)) является первообразной для функции ƒ(y(t))y'(t). (При этом предполагаем, что функции ƒ(y(t)), y'(t) и F(y(t)) определены). Это правило сразу же следует из правила дифференцирования сложной функции. В частном случае, если y(t)=at+b, a≠0, и если F(x) является первообразной для функции ƒ(x), то функция
 является первообразной для функции  .
Множество всех первообразных для функции  , называется неопределённым интегралом от функции ƒ(x) и обозначается  . Из вышесказанного следует, что если F(x) является первообразной для функции ƒ(x), то
Функция ƒ(x) называется подынтегральной функцией, выражение ƒ(x)dx называется подынтегральным выражением, а постоянная С называется постоянной интегрирования.
Нахождение функции по её производной называется интегрированием функции. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию. Правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Из свойства дифференцирования легко получаются следующие два свойства для неопределённых интегралов:
Первая формула означает, что каждая первообразная функции ƒ(x)+g(x) является суммой некоторых первообразных для ƒ(x) и g(x) и, наоборот, сумма любых первообразных для ƒ(x) и g(x) является первообразной для ƒ(x)+g(x). Тоесть, получается, что если F(x) - первообразная для функции ƒ(x), а G(x) - первообразная для g(x), то
где С - произвольная постоянная. Ну и аналогично для второго свойства:
В случае k=0 формула перестаёт быть верной, действительно
|
Таблица неопределённых интегралов:
|
