Пусть функция y=ƒ(x) определена на некотором интервале (a,b), содержащем точку x0. Для любой другой точки x интервала (a,b) разность x–x0 обозначается Δx и называется приращением аргумента; соответствующая разность значений функции ƒ(x)–ƒ(x0) обозначается Δƒ(x0) или Δy(x0) и называется приращением функции. Из равенства Δx=x–x0 следует x=x0+Δx и Δƒ(x0)=ƒ(x0+Δx)–ƒ(x0). Если x стремиться к x0 то очевидно что Δx стремиться к нулю.
Производной функции y=ƒ(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю. Производная функции y=ƒ(x) в точке x0 обозначается ƒ'(x0) или y'(x0). Таким образом по определению
Для существования производной ƒ'(x0) необходимо, чтобы функция ƒ(x) была определена в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в точке x0. Функция, имеющая производную в точке x0, называется дифференцируемой в этой точке; операция нахождения производной называется дифференцированием. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале. Производная дифференцируемой на интервале функции y=ƒ(x) сама является функцией аргумента x, её обозначают ƒ'(x) или y'(x) и называют производной функцией.
Основные формулы и правила дифференцирования, с помощью которых в большинстве случаев можно при дифференцировании обойтись без непосредственного вычисления производной как предела отношения Δƒ/Δx при Δx, стремящемся к нулю.
Производные элементарных функций:
|
Правила дифференцирования.
Пусть c - постоянная,  - дифференцируемые на некотором интервале (a,b) функции, на этом же интервале справедливы формулы:
Правила дифференцирования сложной функции.
Пусть y=F(u), u=u(x) и y(x)=F(u(x)) - сложная функция. Если функция u(x) дифференцируема в точке x0 и функция F(u) дифференцируема в точке u0=u(x0), то сложная функция y(x)=F(u(x)) дифференцируема в точке x0 и
Пример: Найти производную функции y=(sinx+cosx)3.
Полагаем здесь u(x)=sinx+cosx, y=u3. По правилу дифференцирования сложной функции для любого x получаем:
|
