1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причём в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если неизвестными функциями являются функции нескольких переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае, т.е. при рассмотрении функций только одного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Уравнением с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными х, у называется соотношение между неизвестной функцией u(х, у) и ее частными производными до 2-го порядка включительно:
Аналогично записывается уравнение и для большего числа независимых переменных. Уравнение называется линейным относительно старших (высших) производных, если оно имеет вид
где а11, а12, а22 являются функциями х и у. Если коэффициенты а11, а12, а22 зависят не только от х и у, а являются подобно F1, функциями х, у, u, ux, uy, то такое уравнение называется квазилинейным. Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, uxy, uyy, так и относительно функции u и её первых производных ux, uy:
где a11, a12, a22, b1, b2, с, ƒ — функции только x и у. Если коэффициенты уравнения (2) не зависят от х и у, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнение называется однородным, если ƒ(x, у)=0. С помощью преобразования переменных ξ=φ(х,у), η=ψ(x,y), допускающее обратное преобразование, получим новое уравнение эквивалентное исходному, причём ξ и η выбраны так, чтобы эквивалентное уравнение имело наиболее простую форму (преобразования опущены). Тогда характеристическим уравнением для уравнения (1) будет:
Его характеристики будут интегралами. В результате преобразований уравнение (3) распадается на два уравнения:
Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения (1). Это уравнение в некоторой точке М называется уравнением:
- гиперболического типа, если в точке М
- эллиптического типа, если в точке М
- параболического типа, если в точке М
Канонические формы уравнения (1):
- гиперболического типа
- эллиптического типа
- параболического типа
2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными. Рассмотрим линейное уравнение с действительными коэффициентами
где a, b, c, ƒ являются функциями x1, x2, ..., xn. Введём новые независимые переменные ξk, полагая ξk=ξk(x1,x2,...,xn) (k=1,...,n). Тогда после многочисленных преобразований получим, что в точке М0 уравнение (6) в зависимости от типа приводится к одной из следующих канонических форм:
- эллиптический тип (все n коэффициентов одного знака)
- гиперболический тип (n–1 коэффициентов имеют один знак, а один коэффициент противоположен по знаку)
- ультрагиперболический тип (m коэффициентов одного знака и n–m противоположного знака)
- параболический тип (если хотя бы один из коэффициентов равен нулю)
Соответственно, уравнения параболического типа могут подразделяться на уравнения эллиптически-параболические, гиперболически-параболические и т.д.
Таким образом, если уравнение (6) в некоторой точке М0 принадлежит к определённому типу, то его можно привести к соответствующей канонической форме в этой точке.
|
3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (n=2). В случае двух независимых переменных линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
Ему соответствует характеристическое уравнение с постоянными коэффициентами. Поэтому характеристики будут прямыми линиями
С помощью соответствующего преобразования переменных уравнение (7) приводится к одной из простейших форм:
- эллиптический тип
- гиперболический тип
- параболический тип
Для дальнейшего упрощения введём вместо u новую функцию 
где λ и μ - неопределённые пока постоянные. Тогда
Подставляя выражения для производных в уравнения (8), (9) и (10) и выполнив некоторые преобразования, приходим к следующим каноническим формам для уравнений с постоянными коэффициентами:
- эллиптический тип
- гиперболический тип
- параболический тип
где γ - постоянная, выражающаяся через c, b1 и b2. 
4. Канонические формы линейных уравнений со многими независимыми переменными с постоянными коэффициентами. Уравнение с постоянными коэффициентами в случае нескольких независимых переменных
при помощи линейного преобразования переменных приводится к каноническому виду одновременно для всех точек области его опредления. Вводя вместо u новую функцию
и выбирая нужным способом  , мы можем дальше упростить уравнение, что приводит нас к каноническим формам, сходным со случаем n=2.
Полное содержание данной статьи:
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики.
|
