Теорема Пифагора
|
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
- Алгебраическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: a2 + b2 = c2
- Обратная теорема Пифагора:
Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. |
 |
Подобие треугольников
- Две фигуры F и F1 называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е, таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз.
Если фигуры F и F1 подобны, тo пишется  В записи подобия треугольников  предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е, А переходит в А1, В в В1, С в C1.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны и соответствующие отрезки пропорциональны, в частности у подобных треугольников АВС и А1В1С1
- Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны,
1) если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
2) если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
3) если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.
- Два прямоугольных треугольника подобны:
1) если они содержат по равному острому углу;
2) если катеты одного пропорциональны катетам другого;
3) если гипотенуза и катет одного пропорциональны гипотенузе и катету другого.
Теоремы косинусов и синусов
Для произвольного треугольника, длины сторон которого обозначены а, b, с, а величины противолежащих им углов -  , β, γ - справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника, утверждения которых можно кратко записать так:
|
|
Свойства касательных и секущих
Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами. Рассмотрим угол NAB, образованный хордой AB и касательной AN, точка A - точка касания (рис. 1). Пусть О - центр окружности и  Так как  Сумма углов треугольника AOB равна 180°, отсюда получаем 
Пусть к окружности проведены из одной точки М касательная МА и секущая МВ, пересекающая окружность в точках В и С (рис. 2). Тогда справедливо равенство МА2=МВ×МС, т.е. если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек её пересечения с окружностью.
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
|
